lunes, 21 de septiembre de 2009

Factores y factorización

Factores

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, multiplicando a2 por a+b tenemos :

a^2(a+b)=a^3+a^2b\,

a2 y (a+b), que multiplicadas entre sí dan como producto a3+ a2b, son factores o divisores de a3+ a2b.

Igualmente:

(x+1)(x-3)=x^2-2x-3\,


luego, (x+1) y ( x3) son factores de x22x3


Definición


Factorizar una expresión algebraica es convertirla en
el producto indicado de sus factores.

Factorizar un monomio

Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así, los factores de 21a2c3 son:

7, 3, a, a, c, c, c\,

Por tanto:

21a^2c^3=7\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot c\cdot c\cdot c

Factorizar un polinomio

No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distindos de la unidad, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles entre ellos mismo y por la "unidad", hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por la "unidad", y que, por tanto, no son el productos de otras expresiones algebraicas. Así a+b no puede descomponers en dos factores distinos de 1 porque sólo es divisible por a+b y por 1.

Prueba general de factorización

En cualquiera de los casos que estudiaremos, la prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos, su producto tiene que ser igual a la expresión que se ha factorizado.

Ejemplo:
Al factorizar la expresión 21a^2c^3+7a^3c\, se obtiene:

21a^2c^3+7a^3c=(7a^2c)(3c^2+a)\,

La prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos. El resultado deberá ser la expresión original:

(7a^2c)(3c^2+a)=21a^2c^3+7a^3c\,

Casos de factorización


1.- Todos los términos de un polinomio tienen un factor común


2.- Factor común por agrupación de términos


3.- Trinomio cuadrado perfecto


4.- Diferencia de cuadrados perfectos


5.- Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción


6.- Trinomio de la forma x2 + bx + c


7.- Trinommio de la forma ax2 + bx + c


8.- Cubo perfecto de binomios


9.- Suma o diferencia de cubos perfectos


10.- Suma o diferencia de dos potencias iguales

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